警察犬の訓練をしたい。

警視庁は1952年に嘱託警察犬制度を採用しました。この嘱託警察犬制度により警察犬は警察が直接訓練管理を行う『直轄警察犬』と民間人が要請により協力出動する『嘱託警察犬』の2種類となりました。

直轄警察犬の訓練士になるには、警察官になる必要がある。

直轄警察犬の訓練士は警察職員ですので、直轄警察犬の訓練士になるためには警察官になる必要が有ります。
その後、鑑識課に配属される必要があり、その上で直轄警察犬の訓練士になる必要が有ります。
直轄警察犬は数が少ないですので、かなり狭き門といえるのではないでしょうか。

嘱託警察犬の訓練士になるために必須となる資格は存在しない。

嘱託警察犬を訓練するために、特に必須となる資格はありません。
しかし現実問題、訓練士の認定資格がない状態で『犬の訓練』の仕事に携わるのは難しいですので、仕事として行うとなると『公認訓練士』の資格を修得する必要が有りそうです。
通常ルートとしては、民間の警察犬訓練所で『見習い訓練士』となり、(社)ジャパンケネルクラブ (JKC)/(社)日本シェパード犬登録協会(JSV)/(社)日本警察犬協会(PD)の3団体いずれかにおいて『公認訓練士』の認定を受け、訓練士として活動するというものです。資格の習得まで5年~6年程かかるそうです。

嘱託警察犬訓練士の資格』なるモノは存在せず、『公認訓練士の中で警察犬訓練を行っているヒト』を『嘱託警察犬訓練士』と呼んでいるようですね。

三重県警の嘱託警察犬の募集要項を調べてみました。

三重県で嘱託警察犬になるためには下記の要件を満たす必要が有ります。

三重県警察が毎年1回開催する嘱託警察犬審査会で合格する必要があります。
犬の審査条件
警察犬に適している上記7犬種で、足跡追及、臭気選別及び警戒のいずれかの訓練がなされている犬
所有者の審査条件
三重県内に居住している者

三重県ではエアデールテリア、ボクサー、コリー、ドーベルマン、ゴールデンレトリバー、ラブラドールレトリバー、シェパードの7犬種に限られている

7犬種とは警察犬として適しているとされる下記の犬種です。
①  コリー ② エアデール・テリア③ ドーベルマン④ ラブラドール・リトリーバー⑤ ボクサー⑥ ゴールデン・リトリーバー⑦ シェパード

訓練がされていて、競技ができれば問題無さそう?

これによると特段資格要件等は設定されていませんね。
警察犬訓練所のHPをあちこち調べて見ましたら、『嘱託警察犬訓練』という項目を掲げている所が何か所かありました。
訓練は委託して、ハンドラーとして飼い主が競技会に参加するということでしょうか?

要件的には自分で訓練して参加することも不可能ではなさそうです。
しかし、この手の競技会にはルールに明文化されていない『お作法』的なものがあるなんて言うのがデフォルトですし、通常の家庭犬の訓練に比べてかなりハイレベルな訓練内容が要求されるので、素人がネットで情報を探して独自に訓練し嘱託警察犬に採用!などというのは難しいでしょうね。

そして三重県の嘱託警察犬審査会の準備物にはしっかりと『参加犬の血統書』との表示が…

警察犬の訓練項目自体は、家庭犬にも必要な訓練項目に高等訓練を追加したようなものですので、上記7犬種を飼育しているヒトは訓練の目標として委託警察犬審査会への参加を目指してみるのも面白いかもしれません。

訓練された犬の最高峰。警察犬の秘密。日本警察犬協会が認める7犬種。

訓練された犬の最高峰。警察犬の秘密。仕事の内容は専門職分業制。